Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_n$ натурал сандары үшін әрбір

$k$ санына сәйкес

$a_k$ шарды 1-ден

$a_k$ -ға дейінгі сандармен нөмірлеп және оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санғанда) болатындай етіп

$k$ қорапқа салуға болады.

$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<2$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Үшбұрыштың ішінде осы үшбұрыштың қабырғаларын қамтитын түзулерге дейінгі арақашықтықтары 1, 2 және 3 болатын нүкте таңдалды.
а) Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы 1,5-ке тең болуы мүмкін бе?
б) Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы 1,51-ге тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. а)

$20^x \cdot 25^y \cdot 2025^z = 1$ теңдеуін

$x$ ,

$y$ ,

$z$ рационал сандарда шешіңіз.
б)

$20^x + 25^y = 2025^z$ теңдеуінің

$x$ ,

$y$ ,

$z$ рационал сандарда шешімі бар ма?
комментарий/решение(2)