Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ натурал сандары үшін әрбір $k$ санына сәйкес $a_k$ шарды 1-ден $a_k$-ға дейінгі сандармен нөмірлеп және оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санғанда) болатындай етіп $k$ қорапқа салуға болады. $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<2$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

---

Есеп №2. Үшбұрыштың ішінде осы үшбұрыштың қабырғаларын қамтитын түзулерге дейінгі арақашықтықтары 1, 2 және 3 болатын нүкте таңдалды.
   а) Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы 1,5-ке тең болуы мүмкін бе?
   б) Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы 1,51-ге тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. а) $20^x \cdot 25^y \cdot 2025^z = 1$ теңдеуін $x$, $y$, $z$ рационал сандарда шешіңіз.
   б) $20^x + 25^y = 2025^z$ теңдеуінің $x$, $y$, $z$ рационал сандарда шешімі бар ма?
комментарий/решение(1)

---