11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Есеп №1. Суретте теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышы аудандары бірдей 4 үшбұрышқа бөлінген. $ABX$, $BCY$, $CAZ$ үшбұрыштары өзара тең, ал төртінші $\triangle XYZ$ — теңқабырғалы үшбұрыш. $X, Y, Z$ нүктелері $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.

комментарий/решение

Есеп №2. Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $CD$ қабырғасында $\angle CBP = 90^\circ$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $AC$ және $BP$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады, және сол нүкте үшін $AK = AP = AD$ теңдігі орындалады. $H$ арқылы $B$ нүктесінен $AC$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табанын белгілейік. $\angle APH = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $I$, $I_A$, $I_C$ нүктелері, сәйкесінше, іштей сызылған, $A$-ға қарсы орналасқан іштейсырт, $C$-ға қарсы орналасқан іштейсырт шеңберлердің центрлері болсын. $AD$ — $\triangle ABC$-ның биіктігі болсын. $BDI_C$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $BI$ және $DI_A$ түзулері екінші рет, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $AP = AQ$ екенін дәлелдеңіз. ($ABC$ үшбұрышында $A$-ға қарсы орналасқан іштейсырт шеңбер деп, $BC$ кесіндісін және $AB$ мен $AC$ қабырғаларының сөзындыларын жанайтын шеңберді айтамыз.)
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ішінде $\angle BPC = 90^\circ$ және $\angle BAP = \angle PAC$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $D$ арқылы $P$ нүктесінің $BC$ қабырғасына түсірілген проекциясын белгілейік. $M$ және $N$ нүктелері, сәйкесінше, $\triangle ABD$ және $\triangle ADC$-ға іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $BMNC$ іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $\omega$ шеңберіне $ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған. $E$ нүктесі $AC$ кесіндісіндегі тұрақты нүкте болсын. $M$ нүктесі $\omega$ бойындағы кез келген нүкте. $AM$ және $BD$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $EP$ түзуі $AB$ және $AD$ түзулерін, сәйкесінше, $R$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $BQ$ және $DR$ түзулері $S$, ал $MS$ және $AC$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $M$ нүктесінің таңдауына қарамастан, $CMT$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $C$-дан өзгеше тұрақты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение