11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Точка $P$ лежит внутри остроугольного треугольника $ABC$ так, что $\angle BPC = 90^\circ$ и $\angle BAP = \angle PAC$. Пусть $D$ — проекция точки $P$ на сторону $BC$. Пусть $M$ и $N$ — это центры вписанных окружностей треугольников $ABD$ и $ADC$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $BMNC$ является вписанным.