1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Дистанционные олимпиады
  4. Иранская олимпиада по геометрии
  5. 11-я олимпиада, 2024 год
  6. Третья лига, 11-12 классы

11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


Задача №1. На рисунке ниже равносторонний треугольник $ABC$ разделён на 4 треугольника равных площадей; три из них — это равные треугольники $ABX$, $BCY$, $CAZ$, а четвёртый, меньший, — это равносторонний треугольник $XYZ$. Докажите, что точки $X, Y, Z$ лежат на вписанной окружности треугольника $ABC$.


комментарий/решение
Задача №2. Точка $P$ лежит на стороне $CD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ так, что $\angle CBP = 90^\circ$. Прямые $AC$ и $BP$ пересекаются в точке $K$, при этом $AK = AP = AD$. Пусть $H$ — это проекция точки $B$ на прямую $AC$. Докажите, что $\angle APH = 90^\circ$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. В треугольнике $ABC$ точки $I$, $I_A$ и $I_C$ — это центр вписанной окружности, центр вневписанной окружности при вершине $A$ и центр вневписанной окружности при вершине $C$ соответственно. Пусть $AD$ — высота $\triangle ABC$. Прямые $BI$ и $DI_A$ во второй раз пересекают описанную окружность треугольника $BDI_C$ соответственно в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $AP = AQ$. (Вневписанной окружностью при вершине $A$ треугольника $ABC$ называется окружность, которая касается отрезка $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Точка $P$ лежит внутри остроугольного треугольника $ABC$ так, что $\angle BPC = 90^\circ$ и $\angle BAP = \angle PAC$. Пусть $D$ — проекция точки $P$ на сторону $BC$. Пусть $M$ и $N$ — это центры вписанных окружностей треугольников $ABD$ и $ADC$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $BMNC$ является вписанным.
комментарий/решение
Задача №5. В окружность $\omega$ вписан четырёхугольник $ABCD$. Пусть $E$ — фиксированная точка на отрезке $AC$. Точка $M$ — это произвольная точка на $\omega$, а прямые $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Прямая $EP$ пересекает стороны $AB$ и $AD$ в точках $R$ и $Q$ соответственно, прямых $BQ$ и $DR$ пересекаются в точке $S$, а прямые $MS$ и $AC$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что независимо от выбора точки $M$, описанная окружность треугольника $CMT$ проходит через фиксированную точку, отличной от $C$.
комментарий/решение