11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ішінде $\angle BPC = 90^\circ$ және $\angle BAP = \angle PAC$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $D$ арқылы $P$ нүктесінің $BC$ қабырғасына түсірілген проекциясын белгілейік. $M$ және $N$ нүктелері, сәйкесінше, $\triangle ABD$ және $\triangle ADC$-ға іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $BMNC$ іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пойдем обратно.

1) Пусть у нас имеется построения вида, где прямая на которой лежать точки $A,P,I$ радикальная ось окружностей описанных около $w_{APB},w_{APC}$ так чтобы $\angle BPC=90^{\circ}$ и $BI,CI$ биссектрисы $\angle ABC, \angle ACB$ и $M \in w_{APB} \cap BI, \ N \in w_{APC} \cap CI$, опустим перпендикуляр $PD$ на $BC$.

Тогда $IP \cdot IA = IM \cdot IB = IN \cdot IC$ то есть $BMNC$ вписанный.

Покажем что в таком случае $DN,DM$ биссектрисы $ADC,ADB$ соответственно.

Счетом углов, просто убедиться в том что $\angle PCN = \angle BPM, \ \angle CPN = \angle MBP$ то есть $BMP, CNP$ подобны.

2) Покажем что $MPD,DNC$ подобны, так как $\angle MPD = \angle DCN$ нужно показать

$$\dfrac{MP}{CN} = \dfrac{PD}{CD}$$ но с другой стороны из подобия $BMP,CNP$ получается $\dfrac{MP}{CN}=\dfrac{BP}{CP}$ но $\dfrac{PD}{CD}=\dfrac{BP}{CP}$ что верно.

ровна так и подобны $PND,BMD$.

3) Из выше описанного получается $\angle MDN = 90^{\circ}$ и так как $\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{PD}{CD} = \dfrac{BP}{CP}$

откуда $MDN,BPC$ подобны.

4) Проведем перпендикуляр $l$ к $CN$ и $H \in l \cap w_{APC}$ по счету углов следует что $D,N,C$ лежат на одной прямой.

5) Так как $\angle DPM = \angle CND = \angle ACN = \angle AHN$ покажем

что $AHD, MPD$ подобны это и докажет что $DN$ биссектриса $DN$ биссектриса $\angle ADC$ для этого

$$\dfrac{DH}{AH} = \dfrac{DP}{MP}$$

6) Пусть $\angle CND=x, \ \angle PCN=y, \ \angle CAD = a$ тогда $\angle DNC = 90+a+y , \angle CDN = 90-a-x-y$ из тр-а $DHC$ и $AHC$ можно вывести:

$$\dfrac{DH}{AH} = \dfrac{\cos(a+y)}{\cos(a+x+y)}$$ но из $DMP$ так же $$\dfrac{DP}{MP} = \dfrac{\cos(a+y)}{\cos(a+x+y)}$$

то есть $\angle ADH = \angle MDP = \angle CDN$