Математикадан аудандық олимпиада, 2023-2024 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. a) Натурал санның кубының ондық жазбасындағы цифрларының қосындысы 2023-ке тең бола ала ма? б) Натурал санның кубының ондық жазбасында дәл 2023 цифр болуы мүмкiн бе?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. а) Теңдеудi шешiңiз $\cos(2^x) + \cos(2^{x+1} ) = 0$.
   б) Бүкiл сандар түзуiнде анықталған $f(x) = \cos(2^x) + \cos(2^{x+1})$ функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табыңыз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Екi шеңбер $A$ және $B$ нүктелерiнде қиылысады. Бiрiншi шеңбердiң бойынан кез келген $X$ — нүктесi арқылы ($X$ — нүктесi екiншi шеңбердiң сыртында жатыр) екiншi шеңбердi $Y$ нүктесiнде қиып өтетiн $XA$ түзуi және $Z$ нүктесiнде қиып өтетiн $XB$ түзуi жүргiзiлген.
   а) Барлық осындай $XYZ$ үшбұрышында $X$ — нүктесiнен жүргiзiлген биссектрисалар бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз;
   б) Барлық осындай $XYZ$ үшбұрышында $X$ — нүктесiнен жүргiзiлген биiктiктер бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)

---