Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 11 класс

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через произвольную точку $X$ — первой окружности (точка $X$ — лежит вне второй окружности) проведена прямая $XA$, которая пересекает вторую окружность в точке $Y$ и прямая $XB$, которая пересекает вторую окружность в точке $Z$. Докажите, что:
   a) биссектрисы всех таких треугольников $XYZ$ проведенные из точки $X$ пересекаются в одной точке;
   б) высоты всех таких треугольников $XYZ$ проведенные из точки $X$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

a) Если $C$ середина дуги $\cap \ AB$ тогда все биссектрисы $\angle ZXY$ пересекаются в точке $C$ так как $BC=AB$.

б) Если $O_{1}$ центр первой окружности и $XD \perp YZ$ тогда если $YDX=a$ значит $\angle YXD = 90^{\circ}-a$ но так как $\angle XBA = a$ откуда $\angle AXO_{1} = 90^{\circ}-a$ то есть $X,O_{1},D$ лежат на одной прямой и $O_{1}$ есть точка пересечения