Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. а) Может ли сумма цифр десятичной записи куба натурального числа быть равной 2023? б) Может ли десятичная запись куба натурального числа содержать ровно 2023 цифры?
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. а) Решите уравнение $\cos(2^x) + \cos(2^{x+1}) = 0$.
   б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \cos(2^x) + \cos(2^{x+1})$, определенной на всей числовой прямой.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через произвольную точку $X$ — первой окружности (точка $X$ — лежит вне второй окружности) проведена прямая $XA$, которая пересекает вторую окружность в точке $Y$ и прямая $XB$, которая пересекает вторую окружность в точке $Z$. Докажите, что:
   a) биссектрисы всех таких треугольников $XYZ$ проведенные из точки $X$ пересекаются в одной точке;
   б) высоты всех таких треугольников $XYZ$ проведенные из точки $X$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

---