Математикадан аудандық олимпиада, 2023-2024 оқу жылы, 11 сынып

Екi шеңбер $A$ және $B$ нүктелерiнде қиылысады. Бiрiншi шеңбердiң бойынан кез келген $X$ — нүктесi арқылы ($X$ — нүктесi екiншi шеңбердiң сыртында жатыр) екiншi шеңбердi $Y$ нүктесiнде қиып өтетiн $XA$ түзуi және $Z$ нүктесiнде қиып өтетiн $XB$ түзуi жүргiзiлген.
   а) Барлық осындай $XYZ$ үшбұрышында $X$ — нүктесiнен жүргiзiлген биссектрисалар бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз;
   б) Барлық осындай $XYZ$ үшбұрышында $X$ — нүктесiнен жүргiзiлген биiктiктер бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

a) Если $C$ середина дуги $\cap \ AB$ тогда все биссектрисы $\angle ZXY$ пересекаются в точке $C$ так как $BC=AB$.

б) Если $O_{1}$ центр первой окружности и $XD \perp YZ$ тогда если $YDX=a$ значит $\angle YXD = 90^{\circ}-a$ но так как $\angle XBA = a$ откуда $\angle AXO_{1} = 90^{\circ}-a$ то есть $X,O_{1},D$ лежат на одной прямой и $O_{1}$ есть точка пересечения