Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2020 год

Есеп №1. Амина $\frac{{1 + 2}}{3}+ \frac{{4 + 5}}{6}+ \ldots + \frac{{2020 + 2021}}{{2022}}$ өрнегінің, ал Назар $1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \ldots + \frac{1}{{674}}$ қосындысының мәнін тапты. Алынған мәндердің қосындысын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №2. Сафия тақ сандарды қатар жазып жатыр 135791113$\ldots$. Осы тізбекте алғашқы рет екі жұп цифр қатар кездеседі. Сол екі цифрдің орнын көрсететін сандардың қосындысын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №3. Арслан тиынды 7 рет лақтырады да, «шіктің» неше реттен түскенін есептейді. Егер шік кемінде 3 рет түскен болса, Арслан ойында ұтысқа жеткен болып саналады. Арсланға ұтыс әкелетін нәтижелер қатарының санын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №4. Ондық жазылуында 9 цифрдан артық болмайтын сан үшін келесі шарттар орындалса, мұндай санды сүйкімді деп атаймыз:
   — оның соңғы цифры 0 немесе 1 цифрларының біріне тең болса,
   — оның соңынан санағандағы екінші цифрі 0, 1 немесе 2 цифрінің біріне тең болса,
   — оның соңынан санағандағы үшінші цифрі 0, 1, 2 немесе 3 цифрларының біріне тең болса, т.с.с.
   Алғашқы он сүйкімді сандар: 1, 10, 11, 20, 21, 100, 101, 110, 111 және 120. Жүзінші орындағы сүйкімді санды табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №5. Тақтада 11 тізбектес натурал сандар жазылған. Агила сандардың біреуін өшірді. Егер қалған сандардың қосындысы 2020-ға тең екені белгілі болса, Агила қай санды өшірді?
комментарий/решение

Есеп №6. «2», «0», «1», «9» цифрларынан төрт таңбалы сандар құрастырылды да, ол сандарды өсу ретімен орналастырып шықты (санның ондық жазылуында бір цифр бірнеше рет кездесуі мүмкін). 99–шы орында тұрған санды табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №7. $N$ бес цифрынан басталатын 2013 таңбалы сан болсын. $N$ санының кез келген екі көршілес цифрлары 13-ке немесе 27-ге бөлінетін сан құрайды. Осы шарттарды қанағаттандыратын $N$ санының бүкіл нұсқаларын қарастырайық. Қарастырылған нұсқалардың соңғы цифрларының қосындысын анықтаңыз.
комментарий/решение

Есеп №8. Көбейтінді 9 цифрымен аяқталуы үшін $1 \times 2 \times \ldots \times 2013$ көбейтіндісінен кем дегенде неше көбейткіштерді сызып тастау керек?
комментарий/решение

Есеп №9. Жоғалған дәптерде бірден бастап 2018-ге дейінгі қатар сандар жазылған. Димаш пен Тимур осы дәптерді тауып алды. Тимур 3 санынан бастап әр үшінші санды бояды. Ал Димаш қалған сандардың ішінен әр үшінші санды бояп шықты. Балаларға қалған сандардың қосындысын табуға көмектесіңіздер.
комментарий/решение

Есеп №10. Алиса 6, 7, 8, $\ldots$, 2012, 2013 тізбегіндегі әр санды цифрларының қосындысына ауыстырып шықты. Одан кейін Назар Алисада шыққан сандардың әрқайсысын цифрларының қосындысына ауыстырды. Ал Ильяс Назарда шыққан сандардың әрқайсысын цифрларының қосындысына ауыстырды. Ильяс жазған сандардың арасында ең көп кездесетін санды анықтаңыз.
комментарий/решение