Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2020 год

Задача №1. Амина вычислила сумму $\frac{{1 + 2}}{3}+ \frac{{4 + 5}}{6}+ \ldots + \frac{{2020 + 2021}}{{2022}}$, а Назар вычислил сумму $1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \ldots + \frac{1}{{674}}.$ Чему равна сумма их ответов?
комментарий/решение

Задача №2. Сафия выписывает подряд нечетные числа 135791113$\ldots$. На каких-то позициях в этой последовательности встретятся в первый раз две четные цифры подряд. Найдите сумму номеров, которые показывают позиции этих цифр.
комментарий/решение

Задача №3. Арслан подбрасывает монетку 7 раз и считает, сколько раз выпадет «решка». Если решка выпадет хотя бы 3 раза, то считается, что Арслан выиграл. Найдите количество последовательностей результатов подбрасывания при котором Арслан выиграет.
комментарий/решение

Задача №4. Натуральное число, в десятичной записи которого не более 9 цифр называется симпатичным, если:
   — его последняя цифра либо 0, либо 1,
   — его вторая цифра с конца равна либо 0, либо 1, либо 2,
   — его третья цифра с конца равна либо 0, либо 1, либо 2, либо 3, и т.д.
   Например, 1, 10, 11, 20, 21, 100, 101, 110, 111 и 120 — первые десять симпатичных чисел. Найдите сотое симпатичное число.
комментарий/решение

Задача №5. На доске написано 11 последовательных натуральных чисел. Агила стерла одно из чисел. Если сумма оставшихся чисел равна 2020, то какое число стерла Агила?
комментарий/решение

Задача №6. Из цифр «2», «0», «1», «9» составили четырехзначные числа и расположили в порядке возрастания (одна цифра может встречаться несколько раз в одном числе). Какое будет число стоять на 99–ом месте?
комментарий/решение

Задача №7. Пусть $N$ является 2013-значным натуральным числом, первой цифрой которого является 5. Любые две соседние цифры этого числа $N$ образуют число, кратное хотя бы одному из чисел: 13 или 27. Рассмотрим всевозможные различные значения последних цифр числа $N$ с такими условиями. Найдите сумму последних цифр этих чисел.
комментарий/решение

Задача №8. Какое наименьшее количество множителей нужно вычеркнуть из произведения $1 \times 2 \times \ldots \times 2013$ так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 9.
комментарий/решение

Задача №9. В одной потерянной тетради записано 2018 последовательных чисел, начиная с единицы. Однажды Тимур и Димаш нашли эту тетрадь. Тимур решил закрасить каждое третье число в тетради, начиная с третьего числа. После чего Димаш закрасил каждое третье число из оставшихся. Помогите мальчикам узнать, чему равна сумма оставшихся чисел.
комментарий/решение

Задача №10. Алиса заменила каждое из 2008 чисел 6, 7, 8, $\ldots$, 2012, 2013 на сумму цифр этих чисел. После этого, Назар заменил каждое из чисел, полученных Алисой, на сумму цифр этих чисел. После этого, Ильяс заменил каждое из чисел, полученных Назаром, на сумму цифр. Найдите число, которое встречается чаще всего среди записанных чисел Ильясом.
комментарий/решение