40-я Балканская математическая олимпиада. Анталья, 2023 год

Задача №1. Найдите все функции

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , которые удовлетворяют равенству

$x f(x+f(y))=(y-x) f(f(x))$ для любых

$x, y \in \mathbb{R}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. В треугольнике

$A B C$ вписанная окружность касается сторон

$B C, C A, A B$ в точках

$D, E, F$ соответственно. Предположим, что существует точка

$X$ на прямой

$E F$ такая, что

$\angle X B C=\angle X C B=45^{\circ}$ Пусть точка

$M$ является серединой дуги

$B C$ на описанной окружности около

$A B C$ , не содержащей точку

$A$ . Докажите, что прямая

$M D$ проходит через точку

$E$ или

$F$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Для каждого положительного целого числа

$n$ , обозначим через

$\omega(n)$ количество различных простых делителей

$n$ (например,

$\omega(1)=0$ и

$\omega(12)=2$ ). Найдите все многочлены

$P(x)$ с целочисленными коэффициентами такие, что если

$n$ является положительным целым числом, удовлетворяющим неравенству

$\omega(n)>2023^{2023}$ , то

$P(n)$ также является положительным целым числом и верно неравенство

$\omega(n) \geq \omega(P(n))$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите наибольшее целое число

$k \leq 2023$ , для которого верно следующее свойство: как 6ы Алиса не раскрасила ровно

$k$ чисел из множества

$\{1,2, \ldots, 2023\}$ в красный цвет, Бо6 сможет покрасить в синий цвет некоторые из оставшихся, непокрашенных чисел таким образом, что сумма всех чисел, покрашенных в красный цвет окажется равной сумме всех чисел, покрашенных в синий цвет.
комментарий/решение(1)

результаты