40-я Балканская математическая олимпиада. Анталья, 2023 год

В треугольнике $A B C$ вписанная окружность касается сторон $B C, C A, A B$ в точках $D, E, F$ соответственно. Предположим, что существует точка $X$ на прямой $E F$ такая, что $$ \angle X B C=\angle X C B=45^{\circ} $$ Пусть точка $M$ является серединой дуги $B C$ на описанной окружности около $A B C$, не содержащей точку $A$. Докажите, что прямая $M D$ проходит через точку $E$ или $F$.

Комментарий/решение

Пусть $I$ - инцентр и $\omega$ окр описанная около $CEID$, пусть $H \in \omega EF$ так как $\angle IAF = \angle EFI = \angle IEF = \angle IEH = \angle ICH$ и так как $\angle CHI = \angle IDC = 90^{\circ}$ значит $IHNF$ вписанный, откуда $\angle ICH = \angle EFI = \angle HNI$ то есть $IC=IN$ значит $CD=NF, \ BN=BC$ откуда $H,I,B$ лежат на одной прямой и $H$ середина $CN$.

Пусть $\omega_{1}$ окр описанная около $CHB$ тогда $CB$ диаметр, пусть $l$ серединный перпендикуляр к $BC$ и $G \in l \cap BC, \ X' \in l \cap \omega_{1}$ тогда $HG || AB$, так же $\angle X'CB = \angle X'BC = 45^{\circ}$ значит если $H -> X'$ тогда $\angle ABC = \angle X'GC = 90^{\circ}$ то есть $X'=X$ откуда $ACNI$ вписанный так как $\angle ANC = \angle AIC = 180 - \dfrac{180- \angle ABC}{2} = 135^{\circ}$.

Пусть $M' \in XG \cap \omega$ тогда $XIM'D$ равноб-я трапеция, если $T \in AI \cap XM'$ тогда $\angle XTI = \angle IAN = \angle ICN$ то есть $T=M'$, но так как $XI = M'D$ тогда $ \angle DCM' = \angle ICN = \angle IAN$ то есть $M'=M$ по задаче, так как $IFDB$ квадрат и $\angle CDM = \angle CXM = \angle CNB = 45^{\circ}$ тогда $M,D,F$ лежат на одной прямой, случай когда $\angle ACB=90^{\circ}$ то $M,D,E$ лежат на одной прямой.

$I$ - деп $\triangle ABC$ үшбұрыш ішінен сызылған шеңбердің ортасы деп алайық.

Лемма: Егер $EF \cup BI = X$ , $EF \cup CI = Y $ деп алсақ $\angle BXC = \angle BYC = 90$ болады.

Ал енді есепке көшейік, әрине $\angle BXC = \angle BYC = 90$ болатын $EF$ түзуінде 2 ден көп нүкте табылмайды . Сондықтан есептегі $X$ нүктесі $BI$ немесе $CI$ түзу де жату керек. Біз $BI$ түзу де жатады деп алайық, онда $\angle XBC = 45 = \angle ABX$ болады, сондықтан $\angle ABC = 90$

Енді $ FD \cup AI = M'$ болса Лемма бойынша $\angle AM'C = 90$ сондықтан $M' \in (ABC)$ және сонда $M' = M$

Ал егер біз $X$ - $CI$ түзуінде жатады деп алсақ , дәл солай $M-D-E$ нүктелері бір түзу бойында жатады.

Лемма дәлелін Иран лемма деп іздесеңіз болады.