40-я Балканская математическая олимпиада. Анталья, 2023 год

Есеп №1.  Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, которые удовлетворяют равенству $$ x f(x+f(y))=(y-x) f(f(x)) $$ для любых $x, y \in \mathbb{R}$.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2.  В треугольнике $A B C$ вписанная окружность касается сторон $B C, C A, A B$ в точках $D, E, F$ соответственно. Предположим, что существует точка $X$ на прямой $E F$ такая, что $$ \angle X B C=\angle X C B=45^{\circ} $$ Пусть точка $M$ является серединой дуги $B C$ на описанной окружности около $A B C$, не содержащей точку $A$. Докажите, что прямая $M D$ проходит через точку $E$ или $F$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Для каждого положительного целого числа $n$, обозначим через $\omega(n)$ количество различных простых делителей $n$ (например, $\omega(1)=0$ и $\omega(12)=2$ ). Найдите все многочлены $P(x)$ с целочисленными коэффициентами такие, что если $n$ является положительным целым числом, удовлетворяющим неравенству $\omega(n)>2023^{2023}$, то $P(n)$ также является положительным целым числом и верно неравенство $$ \omega(n) \geq \omega(P(n)) $$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  Найдите наибольшее целое число $k \leq 2023$, для которого верно следующее свойство: как 6ы Алиса не раскрасила ровно $k$ чисел из множества $\{1,2, \ldots, 2023\}$ в красный цвет, Бо6 сможет покрасить в синий цвет некоторые из оставшихся, непокрашенных чисел таким образом, что сумма всех чисел, покрашенных в красный цвет окажется равной сумме всех чисел, покрашенных в синий цвет.
комментарий/решение(1)

---