9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. На рисунке ниже дано

$AX = BY$ . Докажите, что

$\angle XDA = \angle CDY$ .

комментарий/решение(1)

Задача №2. Две окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ одинакового радиуса пересекаются в точках

$E$ и

$X$ . На

$\omega_1$ и

$\omega_2$ выбраны произвольные точки

$C$ и

$D$ соответственно. Прямые, проходящие через

$E$ параллельно

$XC$ и

$XD$ , пересекают

$\omega_2$ и

$\omega_1$ в точках

$A$ и

$B$ соответственно. Прямая

$CD$ вторично пересекает

$\omega_1$ и

$\omega_2$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник

$ABPQ$ вписанный.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$O$ --- центр описанной окружности треугольника

$ABC$ . На сторонах

$AC$ и

$BC$ выбраны произвольные точки

$M$ и

$N$ соответственно. Точки

$P$ и

$Q$ лежат в той же полуплоскости относительно прямой

$MN$ , что и точка

$C$ , и удовлетворяют условию

$\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ (подобия с указанным порядком вершин). Докажите, что

$OP = OQ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Будем называть два многоугольника

$P$ и

$Q$ совместимыми, если существует натуральное число

$k$ такое, что

$P$ можно разбить на

$k$ равных многоугольников, подобных

$Q$ , а

$Q$ можно разбить на

$k$ равных многоугольников, подобных

$P$ . Докажите, что для любых двух чётных целых чисел

$m, n \geq 4$ существует пара совместимых многоугольников, у которых

$m$ и

$n$ сторон.
(Многоугольник --- это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.)
комментарий/решение(1)

Задача №5. Четырёхугольник

$ABCD$ вписан в окружность

$\omega$ с центром в точке

$O$ . Диагонали

$AC$ и

$BD$ пересекаются в точке

$P$ . На отрезке

$OP$ выбрана точка

$Q$ . Пусть

$E$ и

$F$ --- проекции

$Q$ на прямые

$AD$ и

$BC$ соответственно. Точки

$M$ и

$N$ на описанной окружности треугольника

$QEF$ таковы, что

$QM \parallel AC$ и

$QN \parallel BD$ . Докажите, что прямые

$ME$ и

$NF$ пересекаются на серединном перпендикуляре к отрезку

$CD$ .
комментарий/решение(2)