9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1. Төменгі суретте

$AX=BY$ .

$\angle XDA =\angle CDY$ екенін дәлелдеңіз.

комментарий/решение(1)

Есеп №2. Радиустары тең

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$E$ және

$X$ нүктелерінде қиылысады.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерінде сәйкесінше

$C$ және

$D$ нүктелері алынған.

$E$ арқылы өтетін әрі

$XC$ және

$XD$ түзулеріне параллель түзулер

$\omega_2$ және

$\omega_1$ -ді сәйкесінше

$A$ және

$B$ нүктелерінде қияды.

$CD$ түзуі

$\omega_1$ және

$\omega_2$ -ні екінші рет сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$ABPQ$ — іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$O$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі.

$AC$ және

$BC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынған.

$P$ және

$Q$ нүктелері

$C$ нүктесімен бірге

$MN$ түзуінің бір жағында жатыр және

$\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ ұқсастығы орындалады (ұқсастық дәл осы көрсетілген төбелер ретімен алынған).

$OP = OQ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер

$P$ -ны әрқайсысы

$Q$ -ға ұқсас болатын өзара тең

$k$ көпбұрышқа бөлуге болатындай, ал

$Q$ -ды әрқайсысы

$P$ -ға ұқсас болатын өзара тең

$k$ көпбұрышқа бөлуге болатындай натурал

$k$ саны табылса, онда

$P$ және

$Q$ екі көпбұрыштарын үйлесімді деп атайымыз. Кез келген жұп

$m, n \geq 4$ натурал сандары үшін қабырғалар саны

$m$ және

$n$ -ге тең болатын екі үйлесімді көпбұрыштар табылатынын дәлелдеңіз.
(Көпбұрыш дегеніміз — өзін өзі қимайтын жазықтықтағы тұйық сынықтардан құралған фигура.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$ төртбұрышы центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Төртбұрыштың

$AC$ және

$BD$ диагональдары

$P$ нүктесінде қиылысады.

$OP$ кесіндісінде

$Q$ нүктесі алынған.

$E$ және

$F$ нүктелері

$Q$ нүктесінен сәйкесінше

$AD$ және

$BC$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары.

$QEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойынан

$QM \parallel AC$ және

$QN \parallel BD$ болатындай

$M$ және

$N$ нүктелері алынған.

$ME$ және

$NF$ түзулерінің

$CD$ кесіндісінің орта перпендикулярында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)