9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1. Төменгі суретте $AX=BY$. $\angle XDA =\angle CDY$ екенін дәлелдеңіз.

Есеп №2. Радиустары тең $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $E$ және $X$ нүктелерінде қиылысады. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінде сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелері алынған. $E$ арқылы өтетін әрі $XC$ және $XD$ түзулеріне параллель түзулер $\omega_2$ және $\omega_1$-ді сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелерінде қияды. $CD$ түзуі $\omega_1$ және $\omega_2$-ні екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $ABPQ$ — іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $O$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. $AC$ және $BC$ қабырғаларынан сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $P$ және $Q$ нүктелері $C$ нүктесімен бірге $MN$ түзуінің бір жағында жатыр және $\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ ұқсастығы орындалады (ұқсастық дәл осы көрсетілген төбелер ретімен алынған). $OP = OQ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер $P$-ны әрқайсысы $Q$-ға ұқсас болатын өзара тең $k$ көпбұрышқа бөлуге болатындай, ал $Q$-ды әрқайсысы $P$-ға ұқсас болатын өзара тең $k$ көпбұрышқа бөлуге болатындай натурал $k$ саны табылса, онда $P$ және $Q$ екі көпбұрыштарын үйлесімді деп атайымыз. Кез келген жұп $m, n \geq 4$ натурал сандары үшін қабырғалар саны $m$ және $n$-ге тең болатын екі үйлесімді көпбұрыштар табылатынын дәлелдеңіз.
(Көпбұрыш дегеніміз — өзін өзі қимайтын жазықтықтағы тұйық сынықтардан құралған фигура.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $ABCD$ төртбұрышы центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Төртбұрыштың $AC$ және $BD$ диагональдары $P$ нүктесінде қиылысады. $OP$ кесіндісінде $Q$ нүктесі алынған. $E$ және $F$ нүктелері $Q$ нүктесінен сәйкесінше $AD$ және $BC$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары. $QEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойынан $QM \parallel AC$ және $QN \parallel BD$ болатындай $M$ және $N$ нүктелері алынған. $ME$ және $NF$ түзулерінің $CD$ кесіндісінің орта перпендикулярында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)