9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Будем называть два многоугольника $P$ и $Q$ совместимыми, если существует натуральное число $k$ такое, что $P$ можно разбить на $k$ равных многоугольников, подобных $Q$, а $Q$ можно разбить на $k$ равных многоугольников, подобных $P$. Докажите, что для любых двух чётных целых чисел $m, n \geq 4$ существует пара совместимых многоугольников, у которых $m$ и $n$ сторон.
   (Многоугольник --- это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.)

Комментарий/решение

Не трудно понять, что если многоугольник $A$ совместим с многоугольником $B$ и многоугольник $A$ совместим с многоугольником $C$, то многоугольник $B$ совместим многоугольником $C$, потому что многоугольник $B$ разбивается на многоугольники $A$, а многоугольники $A$ на $C$, так же и в обратную сторону. Чтобы придумать пример, нужно вспомнить, что квадрат совместим с любым прямоугольником. Тогда прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ представим в виде 2 фигур в виде "лестницы", состоящих из квадратов, с размерами $k \times k$. Тогда квадрат совместим с "лестницей" $k \times k$. Стоит заметить, что такие "лестницы" имеют всегда четное количество углов и наименьшая "лестница" имеет 6 углов, тем для квадрата всегда найдется $n$-угольная "лестница" и $n$ пробегает по всем четным числам больших и равных 4. Тогда квадрат совместим с "лестницей" $k \times k$ и "лестницей" $s \times s$, тогда по рассуждениям выше, "лестницы" совместимы друг с другом, так что можно положить "лестницу" с $m$ углов и "лестницу" с $n$ углов, где $m,n \geq 4$ и $m,n$ - четные.