9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Егер $P$-ны әрқайсысы $Q$-ға ұқсас болатын өзара тең $k$ көпбұрышқа бөлуге болатындай, ал $Q$-ды әрқайсысы $P$-ға ұқсас болатын өзара тең $k$ көпбұрышқа бөлуге болатындай натурал $k$ саны табылса, онда $P$ және $Q$ екі көпбұрыштарын үйлесімді деп атайымыз. Кез келген жұп $m, n \geq 4$ натурал сандары үшін қабырғалар саны $m$ және $n$-ге тең болатын екі үйлесімді көпбұрыштар табылатынын дәлелдеңіз.
   (Көпбұрыш дегеніміз — өзін өзі қимайтын жазықтықтағы тұйық сынықтардан құралған фигура.)

Комментарий/решение

Не трудно понять, что если многоугольник $A$ совместим с многоугольником $B$ и многоугольник $A$ совместим с многоугольником $C$, то многоугольник $B$ совместим многоугольником $C$, потому что многоугольник $B$ разбивается на многоугольники $A$, а многоугольники $A$ на $C$, так же и в обратную сторону. Чтобы придумать пример, нужно вспомнить, что квадрат совместим с любым прямоугольником. Тогда прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ представим в виде 2 фигур в виде "лестницы", состоящих из квадратов, с размерами $k \times k$. Тогда квадрат совместим с "лестницей" $k \times k$. Стоит заметить, что такие "лестницы" имеют всегда четное количество углов и наименьшая "лестница" имеет 6 углов, тем для квадрата всегда найдется $n$-угольная "лестница" и $n$ пробегает по всем четным числам больших и равных 4. Тогда квадрат совместим с "лестницей" $k \times k$ и "лестницей" $s \times s$, тогда по рассуждениям выше, "лестницы" совместимы друг с другом, так что можно положить "лестницу" с $m$ углов и "лестницу" с $n$ углов, где $m,n \geq 4$ и $m,n$ - четные.