Областная олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Найдите все монотонные функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что $$f\left(\frac{x+y}{4}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В длинном узком коридоре постелено несколько дорожек(все дорожки параллельны коридору и можно считать, что ширина каждой дорожки равна ширине коридора). Докажите, что найдется дорожка, которая пересекается со всеми оставшимися, если известно, что любая дорожка пересекается не менее чем с половиной из оставшихся.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Дан остроугольный треугольник $A B C$. Пусть $D, E, F$ середины сторон $B C, C A, A B$ соответственно. Прямая $E F$ пересекает описанную окружность $A B C$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $A P$ и $A Q$ пересекают прямую $B C$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что центроид треугольника $A X Y$ лежит на радикальной оси окружностей описанных около треугольников $D X P$ и $D Y Q$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Для каждого $n$-значного натурального числа $k$ определим $D(k)$-как произведение цифр в десятичной записи числа $k$. Чему равна сумма всех таких $D(k)$ по воем $n$-значным натуральным числам?
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  На карточках написаны $0,1,2, \ldots, p-1$, где $p$ - простое. Сколькими способами можно выбрать несколько карточек так чтобы сумма чисел на карточках делилась на р?
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  В графе $G$ вершины пронумерованы числами от 1 до $(p-1)$, где $p>3$ простое. Между любыми двумя вершинами $x$ и $y$ ставится ребро, если существует натуральное $n$, для которого $x^n+y^n$ делится на $p$. Докажите, что в $G$ существует цикл (замкнутый путь), который проходит через каждую вершину данного графа ровно по одному разу.
комментарий/решение(1)

---