Областная олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Для каждого $n$-значного натурального числа $k$ определим $D(k)$-как произведение цифр в десятичной записи числа $k$. Чему равна сумма всех таких $D(k)$ по воем $n$-значным натуральным числам?

Комментарий/решение

Каждому $n$-значному числу $k$ соответсвует один член в

$$(1+2+\dots+9)(0+1+2+\dots+9)\dots(0+1+\dots+9)=45^n$$

Причём соответсвующей член равен $D(k)$. Значит,

$$\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1} D(k) = (1+2+\dots+9)(0+1+2+\dots+9)\dots(0+1+\dots+9) = 45^n$$

Ответ: $45^n$

кайф