Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 10 сынып

Әр натурал $n$-таңбалы $k$ саны үшін $D(k)$ — ондық жазбадағы $k$ санының цифрларының көбейтіндісі болсын. Барлық натурал $n$-таңбалы сандары үшін $D(k)$ сандарының қосындысы неге тең?

Комментарий/решение

Каждому $n$-значному числу $k$ соответсвует один член в

$$(1+2+\dots+9)(0+1+2+\dots+9)\dots(0+1+\dots+9)=45^n$$

Причём соответсвующей член равен $D(k)$. Значит,

$$\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1} D(k) = (1+2+\dots+9)(0+1+2+\dots+9)\dots(0+1+\dots+9) = 45^n$$

Ответ: $45^n$

кайф