Областная олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все монотонные функции

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что

$f\left(\frac{x+y}{4}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. В длинном узком коридоре постелено несколько дорожек(все дорожки параллельны коридору и можно считать, что ширина каждой дорожки равна ширине коридора). Докажите, что найдется дорожка, которая пересекается со всеми оставшимися, если известно, что любая дорожка пересекается не менее чем с половиной из оставшихся.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Дан остроугольный треугольник

$A B C$ . Пусть

$D, E, F$ середины сторон

$B C, C A, A B$ соответственно. Прямая

$E F$ пересекает описанную окружность

$A B C$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Прямые

$A P$ и

$A Q$ пересекают прямую

$B C$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Докажите, что центроид треугольника

$A X Y$ лежит на радикальной оси окружностей описанных около треугольников

$D X P$ и

$D Y Q$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Для каждого

$n$ -значного натурального числа

$k$ определим

$D(k)$ -как произведение цифр в десятичной записи числа

$k$ . Чему равна сумма всех таких

$D(k)$ по воем

$n$ -значным натуральным числам?
комментарий/решение(2)

Задача №5. На карточках написаны

$0,1,2, \ldots, p-1$ , где

$p$ - простое. Сколькими способами можно выбрать несколько карточек так чтобы сумма чисел на карточках делилась на р?
комментарий/решение(2)

Задача №6. В графе

$G$ вершины пронумерованы числами от 1 до

$(p-1)$ , где

$p>3$ простое. Между любыми двумя вершинами

$x$ и

$y$ ставится ребро, если существует натуральное

$n$ , для которого

$x^n+y^n$ делится на

$p$ . Докажите, что в

$G$ существует цикл (замкнутый путь), который проходит через каждую вершину данного графа ровно по одному разу.
комментарий/решение(1)