қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур дистанционного этапа
Есеп №1. Вася 100-ге дейінгі барлық натурал сандарды шеңбер бойына қандай да бір ретпен орналастырды. Егер шеңбердегі қандай да бір санның сағат тілі бағытымен орналасқан көршісі сағат тілі бағытына қарсы орналасқан көршісінен үлкен болса, сол санды лайықты орналасқан деп сан атаймыз. Шеңбер бойында кем дегенде 99 сан лайықты орналасуы мүмкін ба?
(
И. Рубанов,
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Оң $a$, $b$, $c$ сандары берілген. Петя тақтаға $\frac{1}{a}+bc$, $\frac{1}{b}+ac$, $\frac{1}{c}+ab$ сандарын, ал Вася $2a^2$, $2b^2$, $2c^2$ сандарын жазды. Сонда екеуі де үш бірдей сандар жазғаны белгілі (олардың реті басқаша болуы мүмкін, бірақ сандар жиыны бірдей). $abc$ көбейтіндісі нешеге тең?
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $n$ санын 2021-ге бөлгендегі қалдық, $n$ санын 2020-ға бөлгендегі қалдықтан 800-ге артық. Осындай $n$ санының ең кішісін табыңыз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Өлшемі $100\times 100$ тақтаның клеткаларына 1975 ладяны қойып шыққан (әр ладья бір клеткада тұр, әртүрлі ладьялар әртүрлі клеткаларда тұр). Бірін-бірі ұратын ең көп дегенде қанша ладья жұптары болуы мүмкін? Ладья фигурасы тік немесе көлденең бағытта кез келген клетка санына ұрады, бірақ жолында бөгет жасап тұрған ладьяны өтіп, одан кейінгі ладьяны ұра алмайды.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $BM$ — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының медианасы. $C$ бұрышының биссектрисасы $A$ нүктесі арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзуді $X$ нүктесінде қияды. Егер $BM = MX$ болса, $BC > AC$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)