Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Есеп №1.

$5 n=2021 S(n)+2022$ теңдеуін натурал сандарда шешiңiз, бұл жерде

$S(n)$ —

$n$ санының цифрларының қосындысы.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Оң

$a, b, c$ және

$d$ сандарының қосындысы 7-ге тең. Теңсiздiктi дәлелдеңiз

$\sqrt{a+2022 b}+\sqrt{b+2022 c}+\sqrt{c+2022 d}+\sqrt{d+2022 a} \leqslant 238 .$
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Теңдеудi нақты сандарда шешiңiз

$6^{x}+30^{x}+33^{x}=45^{x},$ бұл жерде

$x \ge 1$ .
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$ABCD$ квадратының диагональдары

$O$ нүктесiнде қиылысады. Бұрыш

$KLM$

$135^\circ$ болатындандай,

$OA$ ,

$OB$ ,

$OC$ кесiндiлерiнен сәйкесiнше

$K$ ,

$L$ ,

$M$ нүктелерi алынды.

$ML$ түзуi

$BC$ қабырғасын

$P$ нүктесiнде қияды.

$K$ нүктесiнен

$ML$ түзуiне жүргiзiлген перпендикуляр

$BC$ және

$AB$ қабырғаларын сәйкесiнше

$Q$ және

$R$ нүктелерiнде қияды.

$PQR$ үшбұрышы теңбүйiрлi екенiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение(3)