Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.
Комментарий/решение:
По арифметическому и квадратическому значению
$AM\leq QM$
$$\dfrac{\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}}{4}\leq$$
$$\sqrt{\dfrac{a+2022b+b+2022c+c+2022d+d+2022a}{4}}\Rightarrow$$
$$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leq$$
$$4\sqrt{\dfrac{2023(a+b+c+d)}{4}}\Rightarrow$$
$$a+b+c+d=7 \Rightarrow$$
$$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leq$$
$$\sqrt{2023 \cdot 7 \cdot 4}\Rightarrow$$
$$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leq238$$
случай равенства когда $a=b=c=d=7/4$
Изобразим на координатной плоскости , отрезки вида $\sqrt{a+2022b}$ с координатами $\sqrt{a}$ и $\sqrt{2022b}$
Тогда по неравенству ломанной и $AM \geq GM$
$$LHS\leq \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} +\sqrt{d})^2 + 2022(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} +\sqrt{d})^2} = \sqrt{2023(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} +\sqrt{d})^2}\leq \sqrt{2023\cdot4\cdot(a+b+c+d)} = 238$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.