Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Сумма положительных чисел $a, b, c$ и $d$ равна 7. Докажите неравенство $$\sqrt{a+2022 b}+\sqrt{b+2022 c}+\sqrt{c+2022 d}+\sqrt{d+2022 a} \leqslant 238 .$$

Комментарий/решение

Коши-Буняковского

Пусть сумма равна $S$ тогда $S \leq \sqrt{(1^2+1^2+1^2+1^2)(a+b+c+d+2022(a+b+c+d))} = 238$

По арифметическому и квадратическому значению

$AM\leq QM$

$$\dfrac{\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}}{4}\leq$$

$$\sqrt{\dfrac{a+2022b+b+2022c+c+2022d+d+2022a}{4}}\Rightarrow$$

$$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leq$$

$$4\sqrt{\dfrac{2023(a+b+c+d)}{4}}\Rightarrow$$

$$a+b+c+d=7 \Rightarrow$$

$$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leq$$

$$\sqrt{2023 \cdot 7 \cdot 4}\Rightarrow$$

$$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leq238$$

случай равенства когда $a=b=c=d=7/4$

Изобразим на координатной плоскости , отрезки вида $\sqrt{a+2022b}$ с координатами $\sqrt{a}$ и $\sqrt{2022b}$

Тогда по неравенству ломанной и $AM \geq GM$

$$LHS\leq \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} +\sqrt{d})^2 + 2022(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} +\sqrt{d})^2} = \sqrt{2023(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c} +\sqrt{d})^2}\leq \sqrt{2023\cdot4\cdot(a+b+c+d)} = 238$$

По $AM \le QM$ $$\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a} \le 4\cdot \sqrt{\dfrac{2023(a+b+c+d)}{4}}=2\cdot \sqrt{17\cdot 17\cdot 7\cdot 7\cdot}=238$$