қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.
Задача №1. Решите уравнение $5 n=2021 S(n)+2022,$ в натуральных числах, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сумма положительных чисел $a, b, c$ и $d$ равна 7. Докажите неравенство $$\sqrt{a+2022 b}+\sqrt{b+2022 c}+\sqrt{c+2022 d}+\sqrt{d+2022 a} \leqslant 238 .$$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Решите уравнение в действительных числах $6^{x}+30^{x}+33^{x}=45^{x},$ где $x \geqslant 1$.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $OA$, $OB$, $OC$ соответственно отмечены точки $K$, $L$, $M$ так, что угол $KLM$ равен $135^{\circ}$. Прямая $M L$ пересекает сторону $DC$ в точке $P$. Прямая, проходящая через $K$ и перпендикулярная прямой $ML$, пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что треугольник $PQR$ равнобедренный.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)