Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Задача №1. Решите уравнение

$5 n=2021 S(n)+2022,$ в натуральных числах, где

$S(n)$ — сумма цифр числа

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Сумма положительных чисел

$a, b, c$ и

$d$ равна 7. Докажите неравенство

$\sqrt{a+2022 b}+\sqrt{b+2022 c}+\sqrt{c+2022 d}+\sqrt{d+2022 a} \leqslant 238 .$
комментарий/решение(4)

Задача №3. Решите уравнение в действительных числах

$6^{x}+30^{x}+33^{x}=45^{x},$ где

$x \geqslant 1$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Диагонали квадрата

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . На отрезках

$OA$ ,

$OB$ ,

$OC$ соответственно отмечены точки

$K$ ,

$L$ ,

$M$ так, что угол

$KLM$ равен

$135^{\circ}$ . Прямая

$M L$ пересекает сторону

$DC$ в точке

$P$ . Прямая, проходящая через

$K$ и перпендикулярная прямой

$ML$ , пересекает стороны

$BC$ и

$AD$ в точках

$Q$ и

$R$ соответственно. Докажите, что треугольник

$PQR$ равнобедренный.
комментарий/решение(3)