5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Задача №1. На заключительном этапе Смагуловской олимпиады среди 7 классов участвовали 75 школьников. После того, как жюри оперативно проверили и опубликовали результаты, каждый участник посмотрев свой результат, начал сравнивать его с результатами других, подсчитывая, сколько учеников набрали баллов больше него, и сколько — меньше него. Могло ли оказаться так, что для каждого участника эти две величины имеют разные чётности? (Результаты участников не обязательно должны быть разными.)
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите наименьшее значение выражения

$|20x+22|+|22x+33|$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3.

$a,b$ — натуральные числа. Известно, что

$a^2+ab+b^2$ делится на 10. Докажите, что

$a^2+ab+b^2$ делится на 100.
комментарий/решение(6)

Задача №4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике

$ABC$ проведена высота

$CH$ . Внутри треугольника

$ABC$ нашлась точка

$M$ такая, что

$CM=HM > BC/2$ . Сравните угол

$CMA$ с углом

$90^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Клетчатый прямоугольник со сторонами больше одной клетки разбит на доминошки (прямоугольники

$1 \times 2$ ). Пусть

$A$ — количество квадратов

$2 \times 2$ , состоящих из двух доминошек,

$B$ — количество квадратов

$2 \times 2$ , состоящих из клеток четырех разных доминошек. Докажите, что

$A > B$ .
комментарий/решение(2)