қазақша
русский5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
Задача №1. На заключительном этапе Смагуловской олимпиады среди 7 классов участвовали 75 школьников. После того, как жюри оперативно проверили и опубликовали результаты, каждый участник посмотрев свой результат, начал сравнивать его с результатами других, подсчитывая, сколько учеников набрали баллов больше него, и сколько — меньше него. Могло ли оказаться так, что для каждого участника эти две величины имеют разные чётности? (Результаты участников не обязательно должны быть разными.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. $a,b$ — натуральные числа. Известно, что $a^2+ab+b^2$ делится на 10. Докажите, что $a^2+ab+b^2$ делится на 100.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Внутри треугольника $ABC$ нашлась точка $M$ такая, что $CM=HM > BC/2$. Сравните угол $CMA$ с углом $90^\circ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Клетчатый прямоугольник со сторонами больше одной клетки разбит на доминошки (прямоугольники $1 \times 2$). Пусть $A$ — количество квадратов $2 \times 2$, состоящих из двух доминошек, $B$ — количество квадратов $2 \times 2$, состоящих из клеток четырех разных доминошек. Докажите, что $A > B$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)