5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

$a,b$ — натуральные числа. Известно, что $a^2+ab+b^2$ делится на 10. Докажите, что $a^2+ab+b^2$ делится на 100.

Комментарий/решение

При каких $a$ и $b$, $a^2+ab+b^2 \equiv 0 \pmod {10}$?

Когда они оба 0 по модулю 10 при $a, b >= 10$

Ну и при таком условии, они будут давать 0 и по модулю 100.

Теорема Жирара в 7 классе это жестоко

Заметим что тогда $a^3$ - $b^3$ делится на $10$. Из этого следует что $a^3$ сравнимо с $b^3$ по ($mod10$) тогда $a$ сравнимо с $b$ по ($mod10$). Пусть $a$ и $b$ сравнимо c $x$ по ($mod10$) тогда из условия следует что $3x^2$ делится на 10, числа $3$ и $10$ взаимнопростые, значит $x^2$ делится на $10$ из этого следует что и $x$ тоже делится на $10$ значит что $a$ и $b$ делятся на $10$, тогда $a^2$ + $ab$ + $b^2$ делится на $100$, что и требовалось доказать.