Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Пусть X,Y точки касания окружности с окружностью ω1,R1 которая касается лучей OP,ON соответственно, таким же образом L,K с окружностью ω2,R2 с лучами OQ,OM (R2>R1). Так как ∠POM=∠QON то ∠PON=∠QOM если вписать окружность ω′1 радиуса равным R1 в ∠QOM, то получим что ω1,ω′1 симметричны относительно биссектрисы ∠POQ, аналогично ω′2 радиуса R2 вписанная в ∠PON будут симметричны. Пусть C′,B′∈ω′1∩ω′2 тогда C,C′ и B,B′ так же симметричны относительно биссектрисы, так как определены как точки пересечения симметричных окружностей.
Значит при композиций, симметрий относительной биссектрисы и гомотетии с центром в точке (O,R2R1) получаем ω1 перейдет в ω2.
Тогда CC′||BB′ и C′B′=CB значит OC и OB так же симметричны относительно биссектрисы , откуда ∠MOC=∠NOB откуда ∠POC=∠BOQ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.