Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Даны лучи OP и OQ. Внутри меньшего угла POQ выбраны точки M и N, такие что POM=QON и POM<PON. Окружность, которая касается лучей OP и ON, пересекает вторую окружность, которая касается лучей OM и OQ, в точках B и C. Доказать что POC=QOB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
7 года 1 месяца назад #

Пусть X,Y точки касания окружности с окружностью ω1,R1 которая касается лучей OP,ON соответственно, таким же образом L,K с окружностью ω2,R2 с лучами OQ,OM (R2>R1). Так как POM=QON то PON=QOM если вписать окружность ω1 радиуса равным R1 в QOM, то получим что ω1,ω1 симметричны относительно биссектрисы POQ, аналогично ω2 радиуса R2 вписанная в PON будут симметричны. Пусть C,Bω1ω2 тогда C,C и B,B так же симметричны относительно биссектрисы, так как определены как точки пересечения симметричных окружностей.

Значит при композиций, симметрий относительной биссектрисы и гомотетии с центром в точке (O,R2R1) получаем ω1 перейдет в ω2.

Тогда CC||BB и CB=CB значит OC и OB так же симметричны относительно биссектрисы , откуда MOC=NOB откуда POC=BOQ.