Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

$OP$ және $OQ$ сәулелері берілген. Кіші $POQ$ бұрышының ішінен $\angle POM=\angle QON$ және $\angle POM < \angle PON$ шарттарын қанағатандыратын $M$ және $N$ нүктелері алынған. $OP$ және $ON$ сәулелерін жанайтын шеңбер $OM$ және $OQ$ сәулелерін жанайтын шеңберді $B$ және $C$ нүктелерінде қиып өтсін. $\angle POC=\angle QOB$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $X,Y$ точки касания окружности с окружностью $\omega_{1},R_{1}$ которая касается лучей $OP,ON$ соответственно, таким же образом $L,K$ с окружностью $\omega_{2},R_{2}$ с лучами $OQ,OM$ ($R_{2}>R_{1}$). Так как $\angle POM = \angle QON$ то $\angle PON = \angle QOM$ если вписать окружность $\omega_{1}'$ радиуса равным $R_{1}$ в $\angle QOM$, то получим что $\omega_{1}, \omega_{1}'$ симметричны относительно биссектрисы $\angle POQ$, аналогично $\omega_{2}'$ радиуса $R_{2}$ вписанная в $\angle PON$ будут симметричны. Пусть $C',B' \in \omega_{1}' \cap \omega_{2}'$ тогда $C,C'$ и $B,B'$ так же симметричны относительно биссектрисы, так как определены как точки пересечения симметричных окружностей.

Значит при композиций, симметрий относительной биссектрисы и гомотетии с центром в точке $(O , \frac{R_{2}}{R_{1}})$ получаем $\omega_{1}$ перейдет в $\omega_{2}$.

Тогда $CC' || BB'$ и $C'B'=CB$ значит $OC$ и $OB$ так же симметричны относительно биссектрисы , откуда $\angle MOC = \angle NOB$ откуда $\angle POC = \angle BOQ$.