Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Для каждой бинарной регулярной таблицы рассмотрим двудольный граф G, 2n вершин которого олицетворяют столбцы и строки, мы будем соединять вершину-столбец с вершиной-строкой, если на пересечении соответствующих им строке и столбце написана 1.
В каждом столбце и строке должно быть по две 1, это значит что из каждой вершины исходит по 2 ребра. То есть необходимо посчитать количество циклов, проходящих через все вершины ровно по одному разу(при этом граф должен оставаться двудольным).
Представим цикл, как путь лягушки по вершинам, конец и начало которого приходятся на фиксированную вершину. Несложно понять, что есть ровно n−i способов совершить 2iый по счёту ход, столько же способов для совершения 2i+1го хода. Поэтому по правилу произведения количество возможных путей лягушки равно n!(n−1)!(для каждого хода от первого до 2n−1го)
Осталось лишь учесть, что каждый цикл учитывается два раза, поскольку можно повторить тот же путь обратном порядке
Ответ: n!(n−1)!2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.