Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

На столе лежит карандаш, заточенный с одного конца. Ученик может поворачивать карандаш вокруг одного из его концов на $45^\circ$ по часовой или против часовой стрелки. Может ли ученик после нескольких поворотов вернуть карандаш на исходное место так, чтобы заточенный и незаточенный конец поменялись местами?

Комментарий/решение

Пусть имеется координатная плоскость $XOY$ отметим на ней точку $A(0,0)$ пусть это будет «незаточенная» часть карандаша, отметим также на ординате точку $B(0,a)$ пусть будет «заточенная» часть и раскрасим точку $A$ в «синий» а точку $B$ в красный.

Опишем около этого отрезка окружность с радиусом $R=a$ и с центром в точке $A$ отметим на этой окружности 8 точек (против часовой стрелки соотвественно)

$B,B_{1},B_{2},B_{3},B_{4},B_{5},B_{6},B_{7},B_{7}$ такие что $BB_{1}=B_{1}B_{2}$, $B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}$ и т.д так как движение осуществляется на $45^{\circ}$.

Опишем тогда окружности но с центрами в точках $B,B_{1},...B_{7}$ с тем же радиусом $R=a$, теперь чтобы осуществить всевозможные движения карандаша с разных концов, нужно перенести (окружность с центром в точке $A$ и вместе с ней всю конструкцию из 8 окружностей) в каждую точку $B,B_{1},...B_{7}$ потом аналогично в центры уже «перенесённой» конструкций и т.д продолжая операций смещения получим всевозможные пути перемещения карандаша.

Без ограничения общности повернем точку $B$ на $45^{\circ}$ против часовой, то есть к точке $B_{1}$ тогда все такие точки $B_{1},B_{2},...,B_{7}$ раскрасим в красный, тогда выходит остальные точки на $8$ окружностях раскрасятся в синий цвет (движение по этим окружностям) для других в красный потом синий и т.д будут чередоваться.

Пусть условие задачи выполнено, то есть $A$ и $B$ поменялись местами, тогда проделаем те же операций, тогда точки $B_{1},B_{2},...,B_{7}$ раскрасятся уже в синий цвет, остальные точки $8$ в красный и т.д (поменяются чередами по сравнению с прошлым) тогда получаем что одновременно конец и начала карандашей разного цвета что невозможно.

Ответ нет