Loading [MathJax]/jax/output/SVG/fonts/TeX/fontdata.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып


Үстел үстінде бір ұшы ұшталған қарындаш жатыр. Оқушы оны кез келген ұшын айналдыра сағат тілімен немесе сағат тіліне қарсы 45-қа бұра алады. Осындай бірнеше айналдыруларды қолданып, оқушы қарындашты бастапқы орынына оның ұшталған және ұшталмаған ұштарын ауыстырып қоя ала ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 8 месяца назад #

Пусть имеется координатная плоскость XOY отметим на ней точку A(0,0) пусть это будет «незаточенная» часть карандаша, отметим также на ординате точку B(0,a) пусть будет «заточенная» часть и раскрасим точку A в «синий» а точку B в красный.

Опишем около этого отрезка окружность с радиусом R=a и с центром в точке A отметим на этой окружности 8 точек (против часовой стрелки соотвественно)

B,B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B7 такие что BB1=B1B2, B1B2=B2B3 и т.д так как движение осуществляется на 45.

Опишем тогда окружности но с центрами в точках B,B1,...B7 с тем же радиусом R=a, теперь чтобы осуществить всевозможные движения карандаша с разных концов, нужно перенести (окружность с центром в точке A и вместе с ней всю конструкцию из 8 окружностей) в каждую точку B,B1,...B7 потом аналогично в центры уже «перенесённой» конструкций и т.д продолжая операций смещения получим всевозможные пути перемещения карандаша.

Без ограничения общности повернем точку B на 45 против часовой, то есть к точке B1 тогда все такие точки B1,B2,...,B7 раскрасим в красный, тогда выходит остальные точки на 8 окружностях раскрасятся в синий цвет (движение по этим окружностям) для других в красный потом синий и т.д будут чередоваться.

Пусть условие задачи выполнено, то есть A и B поменялись местами, тогда проделаем те же операций, тогда точки B1,B2,...,B7 раскрасятся уже в синий цвет, остальные точки 8 в красный и т.д (поменяются чередами по сравнению с прошлым) тогда получаем что одновременно конец и начала карандашей разного цвета что невозможно.

Ответ нет