Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс


Даны нечетные натуральные числа m>1, k и простое число p такое, что p>mk+1. Докажите, что сумма (Ckk)m+(Ckk+1)m++(Ckp1)mделится наp2. Здесь Ckn=n!k!(nk)! — биномиальный коэффициент. ( Д. Елиусизов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
4 года 3 месяца назад #

Решение: Поскольку gcd(p,k!)=1, то достаточно доказать делимость

p2P(k)m++P(p1)m,

где P(n)=n(n1)(nk+1) многочлен степени k. Определим многочлен QZ[x] след. образом

Q(x)=P(x)+P(p+kx1).

Свойство: Все коэффициенты Q кратны p.

Доказательство: Здесь будем рассматривать многочлены над полем Fp.

Легко понять, что

Q(x)=P(x)+P(p+k1x)=P(x)+P(k1x)=0 для xZ.

Отсюда легко видеть, что все коэффициенты Q кратны p, то есть Q(x)=pQ1(x), где Q1Z[x].

Заметим, что

P(x)m+P(p+k1x)m=(P(x)+P(p+k1x))Q2(x)=Q(x)Q2(x)=pR(x),

где R=Q1Q2Z[x], при этом deg(R)mk<p1. Откуда

2p1x=kP(x)m=pp1x=kR(x),

поэтому достаточно доказать, что pp1x=kR(x). Заметим, что pP(p+k1x) и P(x)=0, следовательно pR(x), для x{1,,k1}.

Осталось доказать, что pp1x=1R(x), что верно, так как deg(R)<p1.