Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс

Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр $0, 1, 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Рассмотрим числа состоящие не более чем из 2н цифр . Если x состоит из не более чем 2н цифр и x представимо в виде (A^2+B) , то таких A максимум 10^н , таких B максимум 3^(2н) . Тогда получаем , что существуют хотя бы 10^н ( 10^н - 9^н) не представимых . Тогда для любого 2к , у нас есть хотя бы 10^k( 10^k -9^k) чисел состоящих из не более чем 2k цифр не представимых в виде (A^2+B) => их бесконечно

Iz kakoi knigi?