Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып

$\{a_n\}_{n \ge 1}$ тізбегі былайша анықталған: $$a_1 = \alpha \text{ және } n \ge 1 \text{ үшін } a_{n+1} = 2 a_n^2 - 1.$$ Егер $a_{2010} = 0$ болса, $\alpha$ саны қанша әртүрлі нақты мән қабылдай алады? ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

пусть $a_{2}=2\alpha^2-1=x$ значит $a_{3}=2x^2-1=0, x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и $2^2$ решений

$a_{4}=0, x=\pm \dfrac{ \sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}{2}$ и $2^3$ решений

$a_{5}=0, x=\pm \dfrac{\sqrt{2 \pm \sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}}{2}$ и $2^4$ решений

$x= \pm \dfrac{\sqrt{2 \pm \sqrt{ 2 \pm \sqrt{...}}}}{2}$

Докажем что все решения действительные числа , так как $x_{min}=-1$ то достаточно показать минимальный корень а именно $-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}>-2$ что верно, так как возведя постепенно в квадраты и перенеся слагаемые получим в итоге $2>1$, а различность корней следует из расположения знаков $+$ и $-$ , значит для $a_{2010}=2^{2009}$ различных решений.