Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Пусть $x$ — наименьшее из решений уравнения $x^2-4x+2=0$. Чему равны первые две цифры после запятой в десятичной записи числа $x+x^2+ \ldots+x^{20}$?

Комментарий/решение

Меньший корень это $x=2-\sqrt{2}<1 $ тогда отметим что $x+x^2+x^3+x^4+...x^{n} = \dfrac{x}{1-x} = \sqrt{2}$ то есть две цифры после запятой максимум могут быть равны $\sqrt{2} = 1.41$ оценим , так как $\sqrt{2}-1 < \dfrac{1}{2}$ тогда $x+x^2+x^3+...+x^{20} = \dfrac{x^{21}-x}{x-1} = \sqrt{2} -1024\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2})^{20} \equiv \sqrt{2}-1024\sqrt{2} \cdot (\dfrac{1}{2})^{20} = \dfrac{ \sqrt{2} }{ 1024} = 0.0013$ (тысячный разряд) значит две цифры после запятой равны $41$