Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып

$x^2 - 4x + 2 = 0$ теңдеудің кіші шешімін $x$ деп белгілейік. Келесі санның ондық жазбасындағы үтірден кейінгі екі цифрін анықтаңдар $x + x^2 + \ldots + x^{20}$?

Комментарий/решение

Меньший корень это $x=2-\sqrt{2}<1$ тогда отметим что $x+x^2+x^3+x^4+...x^{n} = \dfrac{x}{1-x} = \sqrt{2}$ то есть две цифры после запятой максимум могут быть равны $\sqrt{2} = 1.41$ оценим , так как $\sqrt{2}-1 < \dfrac{1}{2}$ тогда $x+x^2+x^3+...+x^{20} = \dfrac{x^{21}-x}{x-1} = \sqrt{2} -1024\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2})^{20} \equiv \sqrt{2}-1024\sqrt{2} \cdot (\dfrac{1}{2})^{20} = \dfrac{ \sqrt{2} }{ 1024} = 0.0013$ (тысячный разряд) значит две цифры после запятой равны $41$