Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, $D$ лежит на $AC$. Известно, что $\angle BDM=90^\circ$. Найдите отношение $AB:BC$.

Комментарий/решение

Пусть $BMN$ - равнобедренный треугольник $BM=BN$ тогда $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$ по теореме Менелая $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BN}{CN} = \dfrac{BM}{CN}$ но $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{2BM}{BC} = \dfrac{BM}{CN}$ откуда $\dfrac{BC}{CN} = 2$ значит $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BN}{CN} = \dfrac{BC}{CN} + 1 = 3$