қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс
Задача №1. Пусть $a, b, c$ — положительные числа. Докажите неравенство
$$
\frac{1}
{{a + ab + abc}} + \frac{1}
{{b + bc + bca}} + \frac{1}
{{c + ca + cab}} \leq \frac{1}
{{3\root 3 \of {abc} }}\left( {\frac{1}
{a} + \frac{1}
{b} + \frac{1}
{c}} \right).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Точка $P$ выбрана на меньшей из двух дуг $AB$. Прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно $BO$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно $AO$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$, соответственно. Докажите, что:
а) треугольник $PQS$ — равнобедренный;
б) $PQ^2 = QR \cdot ST.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дана бесконечная последовательность попарно различных действительных чисел. Докажите, что в ней можно выбрать возрастающую или убывающую подпоследовательность, состоящую из 2007 чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Назовем натуральное число $n$ хорошим,
если существуют такие целые
$a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$, что $ a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = n$.
Найдите все хорошие числа.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, $D$ лежит на $AC$. Известно, что $\angle BDM=90^\circ$. Найдите отношение $AB:BC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа, для которых уравнение $(x+m)(x+n)=x+m+n$ имеет не менее одного целого решения. Докажите, что $\frac{1}{2} < \frac{m}{n} < 2$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Найдите все пары $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ рациональных чисел, удовлетворяющие уравнению $\alpha ^2 + \beta ^2 = \alpha ^3 + \beta ^3.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Каждая клетка доски $100\times 100$ покрашена в один из 100 цветов так, что имеется ровно 100 клеток каждого цвета. Докажите, что существует строка или столбец, в котором встречаются клетки не менее 10 различных цветов.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)