Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Задача №1. Пусть

$a, b, c$ — положительные числа. Докажите неравенство

$\frac{1} {{a + ab + abc}} + \frac{1} {{b + bc + bca}} + \frac{1} {{c + ca + cab}} \leq \frac{1} {{3\root 3 \of {abc} }}\left( {\frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c}} \right).$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Остроугольный треугольник

$ABC$ вписан в окружность с центром

$O$ . Точка

$P$ выбрана на меньшей из двух дуг

$AB$ . Прямая, проходящая через

$P$ перпендикулярно

$BO$ , пересекает стороны

$AB$ и

$BC$ в точках

$S$ и

$T$ соответственно. Прямая, проходящая через

$P$ перпендикулярно

$AO$ , пересекает стороны

$AB$ и

$AC$ в точках

$Q$ и

$R$ , соответственно. Докажите, что:
а) треугольник

$PQS$ — равнобедренный;
б)

$PQ^2 = QR \cdot ST.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дана бесконечная последовательность попарно различных действительных чисел. Докажите, что в ней можно выбрать возрастающую или убывающую подпоследовательность, состоящую из 2007 чисел.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Назовем натуральное число

$n$ хорошим, если существуют такие целые

$a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ , что

$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = n$ . Найдите все хорошие числа.
комментарий/решение

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ ,

$BD$ — биссектриса угла

$\angle ABC$ ,

$D$ лежит на

$AC$ . Известно, что

$\angle BDM=90^\circ$ . Найдите отношение

$AB:BC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть

$m$ и

$n$ — натуральные числа, для которых уравнение

$(x+m)(x+n)=x+m+n$ имеет не менее одного целого решения. Докажите, что

$\frac{1}{2} < \frac{m}{n} < 2$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Найдите все пары

$\left( {\alpha ,\beta } \right)$ рациональных чисел, удовлетворяющие уравнению

$\alpha ^2 + \beta ^2 = \alpha ^3 + \beta ^3.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. Каждая клетка доски

$100\times 100$ покрашена в один из 100 цветов так, что имеется ровно 100 клеток каждого цвета. Докажите, что существует строка или столбец, в котором встречаются клетки не менее 10 различных цветов.
комментарий/решение(1)