Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ және

$c$ — берілген нақты оң сандар. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\dfrac{1}{a+ab+abc}+\dfrac{1}{b+bc+abc}+\dfrac{1}{c+ac+abc}\le \dfrac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right).$
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Сүйір бұрышты үшбұрыш центрі

$O$ нүктесінде болатын шеңберге іштей сызылған.

$P$ нүктесі

$AB$ доғаларыньң кішісінен алынған.

$BO$ түзуіне перпендикуляр және

$P$ арқылы өтетін түзу,

$AB$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкес

$S$ және

$T$ нүктелерінде қияды.

$AO$ түзуіне перпендикуляр және

$P$ арқылы өтетін түзу,

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкес

$Q$ және

$R$ нүктелерінде қияды. Келесі тұжырымдарды дәлелдеңдер:
а)

$PQS$ үшбұрышы теңбүйірлі;
б)

$P{{Q}^{2}}=QR\cdot ST$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өзара әртүрлі нақты сандардан тұратын шексіз тізбек берілген. Ол тізбектен 2007 саннан тұратын өспелі немесе кемімелі тізбекше бөліп алуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер бүтін

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ сандары табылып

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}\cdot \ldots \cdot {{a}_{n}}$ теңдігі орындалса, натурал

$n$ санын жақсы деп атаймыз. Барлық жаксы сандарды табыңдар.
комментарий/решение

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы,

$BD$ түзуі

$ABC$ бұрышының биссектрисасы,

$O$ нүктесі

$AC$ қабырғасында жатыр.

$\angle BDM=90{}^\circ$ екені белгілі.

$AB:BC$ қатынасын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$m$ және

$n$ — натурал сандары үшін

$\left( x+m \right)\left( x+n \right)=x+m+n$ теңдеуінің кемінде бір бүтін шешімі бар.

$\dfrac{1}{2} < \dfrac{m}{n} < n$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

${{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}={{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}$ тендеуін қанағаттандыратын рационал сандардың барлық

$\left( \alpha ,\beta \right)$ жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$100\times 100$ тақтаның әрбір клеткасы 100 түстің біреуімен боялған да, бірдей түспен боялған тура 100 клеткадан. шыққан. 10-нан кем емес әртүрлі түске боялған клеткалары бар жолдың не бағанның бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)