қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $a$, $b$ және $c$ — берілген нақты оң сандар. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:
$$\dfrac{1}{a+ab+abc}+\dfrac{1}{b+bc+abc}+\dfrac{1}{c+ac+abc}\le \dfrac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Сүйір бұрышты үшбұрыш центрі $O$ нүктесінде болатын шеңберге іштей сызылған. $P$ нүктесі $AB$ доғаларыньң кішісінен алынған. $BO$ түзуіне перпендикуляр және $P$ арқылы өтетін түзу, $AB$ және $BC$ қабырғаларын сәйкес $S$ және $T$ нүктелерінде қияды. $AO$ түзуіне перпендикуляр және $P$ арқылы өтетін түзу, $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкес $Q$ және $R$ нүктелерінде қияды. Келесі тұжырымдарды дәлелдеңдер:
а) $PQS$ үшбұрышы теңбүйірлі;
б) $P{{Q}^{2}}=QR\cdot ST$.
комментарий/решение(1)
а) $PQS$ үшбұрышы теңбүйірлі;
б) $P{{Q}^{2}}=QR\cdot ST$.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Өзара әртүрлі нақты сандардан тұратын шексіз тізбек берілген. Ол тізбектен 2007 саннан тұратын өспелі немесе кемімелі тізбекше бөліп алуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Егер бүтін ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ сандары табылып
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}\cdot \ldots \cdot {{a}_{n}}$
теңдігі орындалса, натурал $n$ санын жақсы деп атаймыз. Барлық жаксы сандарды табыңдар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы, $BD$ түзуі $ABC$ бұрышының биссектрисасы, $O$ нүктесі $AC$ қабырғасында жатыр. $\angle BDM=90{}^\circ $ екені белгілі. $AB:BC$ қатынасын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $m$ және $n$ — натурал сандары үшін $\left( x+m \right)\left( x+n \right)=x+m+n$ теңдеуінің кемінде бір бүтін шешімі бар. $\dfrac{1}{2} < \dfrac{m}{n} < n$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. ${{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}={{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}$ тендеуін қанағаттандыратын рационал сандардың барлық $\left( \alpha ,\beta \right)$ жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $100\times 100$ тақтаның әрбір клеткасы 100 түстің біреуімен боялған да, бірдей түспен боялған тура 100 клеткадан. шыққан. 10-нан кем емес әртүрлі түске боялған клеткалары бар жолдың не бағанның бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)