Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы, $BD$ түзуі $ABC$ бұрышының биссектрисасы, $O$ нүктесі $AC$ қабырғасында жатыр. $\angle BDM=90{}^\circ$ екені белгілі. $AB:BC$ қатынасын табыңыздар.

Комментарий/решение

Пусть $BMN$ - равнобедренный треугольник $BM=BN$ тогда $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{CD}$ по теореме Менелая $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BN}{CN} = \dfrac{BM}{CN}$ но $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{2BM}{BC} = \dfrac{BM}{CN}$ откуда $\dfrac{BC}{CN} = 2$ значит $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BN}{CN} = \dfrac{BC}{CN} + 1 = 3$