Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Точка $P$ выбрана на меньшей из двух дуг $AB$. Прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно $BO$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно $AO$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$, соответственно. Докажите, что:
а) треугольник $PQS$ — равнобедренный;
б) $PQ^2 = QR \cdot ST.$

Комментарий/решение

a) $\angle PSQ = \angle PQS = 90 - \angle ABO = 90-\dfrac{180-2 \angle ACB}{2} = \angle ACB$

b) из подобия $BST$ и $ABC$ выходит $ST = \dfrac{BS \cdot AC}{BC}$ так же $QR = \dfrac{AQ \cdot BC}{AC}$ тогда $PQ^2 = ST \cdot QR$ есть $PQ^2 = BS \cdot AQ$ и так как $PQ \cdot SF=BS \cdot AS, \ \ PQ \cdot GQ=AQ \cdot BQ$ перемножая, нужно доказать $SF \cdot GQ = AS \cdot BQ$ которая следует из подобия $ASF, BQG$ так как $BP=BF$ и $AP=AG$