Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып

Сүйір бұрышты үшбұрыш центрі $O$ нүктесінде болатын шеңберге іштей сызылған. $P$ нүктесі $AB$ доғаларыньң кішісінен алынған. $BO$ түзуіне перпендикуляр және $P$ арқылы өтетін түзу, $AB$ және $BC$ қабырғаларын сәйкес $S$ және $T$ нүктелерінде қияды. $AO$ түзуіне перпендикуляр және $P$ арқылы өтетін түзу, $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкес $Q$ және $R$ нүктелерінде қияды. Келесі тұжырымдарды дәлелдеңдер:
а) $PQS$ үшбұрышы теңбүйірлі;
б) $P{{Q}^{2}}=QR\cdot ST$.

Комментарий/решение

a) $\angle PSQ = \angle PQS = 90 - \angle ABO = 90-\dfrac{180-2 \angle ACB}{2} = \angle ACB$

b) из подобия $BST$ и $ABC$ выходит $ST = \dfrac{BS \cdot AC}{BC}$ так же $QR = \dfrac{AQ \cdot BC}{AC}$ тогда $PQ^2 = ST \cdot QR$ есть $PQ^2 = BS \cdot AQ$ и так как $PQ \cdot SF=BS \cdot AS, \ \ PQ \cdot GQ=AQ \cdot BQ$ перемножая, нужно доказать $SF \cdot GQ = AS \cdot BQ$ которая следует из подобия $ASF, BQG$ так как $BP=BF$ и $AP=AG$