Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып

$a$ параметріне тәуелді етіп, теңдеулер жүйесінің нақты $\left( x,y \right)$ шешімдер парларының санын табыңдар:$\left\{ \begin{array}{l} |x| + |y| = 1,\\ {x^2} + {y^2} = a. \end{array} \right.$

Комментарий/решение

При $a=\frac{1}{2}$ и $a=1$ — четыре корня; при $\frac{1}{2} <a<1$ — восемь корней; при $a <\frac{1}{2} $ и $a>1$ — нет корней.

График первого уравнения определяет ромб, вершины которого имеют координаты ${(0,1)}$, ${(1,0)}$, ${(0,-1)}$, ${(-1,0)}$. Второе уравнение определяет окружность, центр которой находится в начале координат. Эта окружность может быть вписанным в ромб или описанной около ромба, может пересекать стороны ромба или вообще не иметь ни одну общую точку с ромбом. Рассматривая эти случаи и получается ответ.