Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Прямая, параллельная стороне $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle C=90^\circ)$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, так, что $CN/BN=AC/BC=2$. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $CM$, а точка $K$ лежит на отрезке $ON$ так, что $MO+OK=KN$. Перпендикуляр к отрезку $AN$ в точке $K$ и биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $T$. Найдите угол $\angle MTB$.

Комментарий/решение

Докажем что $BNOM$ вписанный, для этого покажем что $AO \cdot AN = AM \cdot AB$ учитывая $MN || AC$ откуда $AO=3NO$ из теоремы Пифагора $AN=BC \cdot \dfrac{\sqrt{40}}{3}, \ AO=BC \cdot \dfrac{\sqrt{40}}{4}$ и $AM=2BC \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} , \ AB=BC \cdot \sqrt{5}$ подставляя получаем верно тождество. Выберем на прямой $ON$ точку $M'$ которая симметрична $M$ относительно биссектрисы $\angle MOA$ тогда $K$ середина $M'N$ и $TM'=TN$ ( $TK$ высота и медиана $TM'N$) , значит $\angle TMO = \angle TM'N = \angle TNM'$ откуда $TNMO$ вписанный , значит $TNMOB$ вписанный или $\angle MTB = \angle \angle BNM = 90^{\circ}$.