Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ тікбұрышты үшбұрышының ($\angle C=90{}^\circ $) $AC$ қабырғасына параллель түзу оның $AB$ және $BC$ қабырғаларын сәйкес $M$ және $N$ нүктелерінде қияды және $CN/BN=AC/BC=2$. $AN$ және $CM$ кесінділері $O$ нүктесіне қиылысады, ал $K$ нүктесі $ON$ кесіндісіне тиісті және $MO+OK=KN$. $AN$ кесіндісіне $K$ нүктесінде түскен перпендикуляр мен $ABC$ үшбұрышының $B$ бұрышының биссектрисасы $T$ нүктесінде қиылысады. $MTB$ бұрышын тап.

Комментарий/решение

Докажем что $BNOM$ вписанный, для этого покажем что $AO \cdot AN = AM \cdot AB $ учитывая $MN || AC$ откуда $AO=3NO$ из теоремы Пифагора $AN=BC \cdot \dfrac{\sqrt{40}}{3}, \ AO=BC \cdot \dfrac{\sqrt{40}}{4}$ и $AM=2BC \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} , \ AB=BC \cdot \sqrt{5}$ подставляя получаем верно тождество. Выберем на прямой $ON$ точку $M'$ которая симметрична $M$ относительно биссектрисы $\angle MOA$ тогда $K$ середина $M'N$ и $TM'=TN$ ( $TK$ высота и медиана $TM'N$) , значит $ \angle TMO = \angle TM'N = \angle TNM'$ откуда $TNMO$ вписанный , значит $TNMOB$ вписанный или $\angle MTB = \angle \angle BNM = 90^{\circ}$.