Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $8^n -1$ делит $80^n -1$ без остатка.

Комментарий/решение

$80^n-10^n=10^n(8^n-1)=$

$=80^n-1-(10^n-1)$ делится на $8^n-1$, поэтому $2^n(5^n-4^n)=10^n-1-(8^n-1)$ делится на $8^n-1$, но $5^n-4^n<8^n-1$, значит таких $n$ не существует.