Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

${{8}^{n}}-1$ саны ${{80}^{n}}-1$ санын қалдықсыз бөлетіндей барлық $n$ натурал санын табыңыз.

Комментарий/решение

$80^n-10^n=10^n(8^n-1)=$

$=80^n-1-(10^n-1)$ делится на $8^n-1$, поэтому $2^n(5^n-4^n)=10^n-1-(8^n-1)$ делится на $8^n-1$, но $5^n-4^n<8^n-1$, значит таких $n$ не существует.